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平稳的时间序列和非平稳的时间序列怎样辨别?

时间:2020-04-27 08:24来源:平稳序列 作者:股票配资网 点击:
  平稳序列
 
 
  本报记者:股票配资jinli6
 
 
  平稳的时间序列和非平稳的时间序列怎样辨别?
 
 
  随机游走(random walk)过程是一种特殊的自回归过程,它是a=1的滞后1期自回归过程。
 
 
  随机游走过程是过去和现在的每一期的白噪声的加总。
 
 
  自相关系数a=l表示在历史上每发生的一件事都会在接下来的每个时期产生相同的影响,这个影响并不会随着时间的流逝而减弱。
 
 
  随机游走过程的无条件期望为0,方差随着时间的延续而不断加大:由上可见,随机游走过程的无条件方差并不会随着‘增大而收敛。相反,方差会随着t增大变得越来越大。这意味着未来可能出现的情况会越来越不确定。这个特点会使得未来的发展趋势变得更加不可预测。
 
 
  如果我们要在第t-1期时预测第t期简单地说,如果价格走势遵循随机游走过程,那么对于下一期的价格的最佳预测值就是今天的收盘价格;对于更远期的价格走势判断都将会随着时间间隔的扩大变得更加不可能。
 
 
  平稳的时间序列和非平稳的时间序列
 
 
  当时间序列的每期数据都具有相同的概率分布时,我们称这个时间序列是平稳的。如果时间序列的概率分布是随着时间变化而变化的,那么这个时间序列就是不平稳的。检查时间序列的概率分布是否相同往往比较困难,因此我们通过一个简单的方法来判断时间序列的平稳性。如果时间序列具有相同的概率分布,那么序列的期望和方差将相同,不会随着时间变化而变化。很明显,除了随机游走过程,我们上面所介绍的白噪声、移动平均和a<1的自回归过程是平稳的时间序列。随机游走过程是一个不平稳的时间序列,因为它的方差随着时间的变化而变化。
 
 
  在统计分析时,一个时间序列是否平稳可以通过观察它的自相关系数进行判断。如果它的自相关系数随着滞后期的增加迅速收敛于0附近,这个时间序列就很可能是平稳的。如果它的自相关系数随着滞后期的增加虽然逐渐减小,但减小幅度很小,很长时间也没收敛到0附近,那么这个时间序列就很可能是不平稳的。从前面的自相关系数表中,我们可以明显地看出,招商银行的收盘价和沪深300指数的收盘价的自相关系数下降的速度很慢,滞后7期的收盘价与当期的收盘价的相关系数都仍在0.92以上,那么收盘价的时间序列就很有可能不是一个平稳的时间序列;而招商银行的收益率和沪深300指数的收益率的自相关系数在滞后一期以后就迅速下降到了0附近,也就是说每期的收益率除了与自己是完全相关的,与其他期的收益率是不相关的。通过对自相关系数的观察我们可以得到一个大概的估计,但这不是一个严谨的科学结论或统计学结论。
 
 
  在统计学中,判断一个时间序列是否平稳是一个有关统计检验的学术问题。关于平稳性的检验,最常用的方法是两位美国统计学家迪基(D.A.Dickey)和富勒(W.A.Fuller)在20世纪70年代提出的单位根方法,也就是判断自相关系数是否等于1的方法。经过学术界近30年的研究,这一方法最终被归纳为增广迪基富勒(Augmented Dickey-Fuller)检验法,简称ADF检验。目前大多数统计软件(如Eviews,SAS,SPSS等)都附带有ADF检验功能。通过运行ADF检验可以得到检验统计二值和其对应的检验概率的P值。通过将二值与对应的临界值比较,当它大于临界值时,我们就接受这是一个平稳的时间序列的假设。r值对应的P值则表示这个时间序列是非平稳的概率,也就是P值越接近0,序列越可能是平稳的。一般情况下,当P值小于0.05或0.1时,我们就认为这是一个平稳的时间序列。
 
 
  我们对招商银行和沪深300指数在2007年的收盘价和收益率进行检验,得到如下结果(见表7.5)。
 
 
  表75
 
 
  当表中的滞后为0时,表示没有滞后项,在无截距项模型中就只剩下随机扰动项εt了,在有截距项模型中就只剩下了截距项a和随机扰动项εt了,在有趋势项模型中就只剩下截距项a和随机扰动项εt了。当滞后为1,2和3时表示模型中最大滞后期,一般检验到滞后3期就足够了。表当用这些模型来检验时间序列都得不到平稳的结果时,就可以认为这个时间序列是不平稳的。从上表的结果我们可以看出,招商银行和沪深300指数的收盘价时间序列在所有的模型中,二值比较小、P值很大,说明这是一个不平稳的时间序列;而招商银行和沪深300指数的收益率时间序列在所有的模型中,r值比较大、P值很小,说明收益率是一个平稳的时间序列。再看前面它们的图,我们可以发现,平稳的时间序列的图基本上在一条水平线的上下波动,而不平稳的时间序列的图则会大起大落,长时间的远离任一条水平线。
 
 
  二、从平稳序列构建检验,到简单理解套利逻辑(1)
 
 
  我们会用连续4天的夜报,简单讲解为什么通过构建平稳序列,进行套利交易,文章尽可能简单明了,欢迎大家多多交流和分享。
 
 
  期货中的套利交易主要分为跨期套利(同品种跨不同结算周期的合约),跨品种套利(相关性较高的不同品种合约),跨市场跨境套利(比如伦铜和沪铜)。既然是套利,必然是想降低风险,特别是单边持仓的赌方向性风险,而在价格出现“异常”运动的时候,在两个合约上,开相反的头寸。
 
 
  比如我们发现螺纹钢RB和铁矿石I,始终呈现相关波动,同涨同跌。此时模型只要能够捕捉到螺纹先涨起来,铁矿石没跟上,就意味着机会来了。你只需要在螺纹钢上开空单,在铁矿石上开多单,赌价差或者价格比值收敛回归到均值水平。如果赌错了,此时市场突然出现大幅度上涨或下跌怎么办?没关系,你的对冲头寸无论是涨跌都可以保持风险偏中性,不会产生大的亏损,因为你没有暴露明确的方向性。
 
 
  PTA和棉花日线走势,观察价格差和价格比
 
 
  极端情况下,你的两个头寸都刚好开反了,价格继续向更大的偏离方向运行,价差越来越大,你就会承受较大的单笔亏损,此时及时止损即可。好在他们俩是高相关性的(起码在统计中,是长期呈现高相关性的,或者从基本面入手,两者是产业上下游,或者工业替代品,或者可替代可伴生的矿产),极少会发生这种偏离,所以别过于担心。
 
 
  所以问题具体化了,我们应该寻找更多类似螺纹铁矿的“资产配对”,并寻找更多套利交易机会。交易机会就是低买高卖,感觉是不是很潇洒,不过实际情况并非总是如此顺利,你可能会遇到价差的继续扩大,或者遇到不足矣覆盖交易成本的开仓机会。
 
 
  所以套利是需要不断学习和补充知识的,这样你能够找到更好地描述两个品种波动关系的方式,找到更好的开仓机会。今天就讲解第一部分,我们用一种新方法,构造方便低买高卖的价格序列,增加我们的套利机会。在时间序列分析领域,这样的序列,被称作平稳(Stationarity)。
 
 
  如上图,我们希望能够找到平稳的序列,因为平稳的特性就是会均值回复(如果均值是0,就在0轴上下回复),所以只要有平稳的序列我们就用震荡行情的操作方法去操作就行了。也就是高卖,低买,反向操作获利。
 
 
  上图波动中,我们模拟了一个均值=0的时间序列。它很平稳地,在x轴上下波动,不会过高过低,且一定返回到x轴。
 
 
  我们简单展开一下,时间序列平稳性(宽平稳)条件是:
 
 
  1)均值,是与时间t无关的常数;
 
 
  2)方差,是与时间t无关的常数;
 
 
  3)协方差,是与时间t无关的常数,只与时期间隔k有关。
 
 
  均值、方差、协方差(mean,variance,correlation)一般也被认为是一个时间序列的统计特性,统计特性如果不会随着时间窗口的不同而变化,就是平稳。
 
 
  比如说:
 
 
  白噪声(White Noise)过程是平稳的:Xt=μt,N~(0,σ2^)(^为上标,σ2^意为σ平方,t为下标,意为第t个值)。因为未来走势完全取决于在x轴上下震荡的误差项。均值为常数0,方差为常数σ平方,时间间隔的协方差均为零。
 
 
  白噪声从数学的定义可以看出,期望为0,方差固定。也就意味着图像基本上在x轴上下波动,而且没有递增或者递减的趋势。
 
 
  随机游走(Random Walk)过程是非平稳的:X(t)=X(t-1)+μ(t),N~(0,σ2^),Var(Xt)=tσ2^(这里将t用括号括起来,还是意为下标)。如果μ(t)为白噪声过程,则称X(t)为随机游走过程。
 
 
  显然随机游走不是完全没有规律,而是每一时刻,在上一时刻的基础上叠加了一个白噪声,随机游走的均值为常数E(X(t))=E(X(t-1)),E(X(t))=E(μ(t)+μ(t-1)+μ(t-2)+...)=0
 
 
  但其方差Var(X(t))=tσ2^,Var(X(t))=Var(μ(t)+μ(t-1)+μ(t-2)+...),σ(μ)2^从负无穷到t求和,趋近于正无穷。方差Var(Xt)为无限大,并非常数。所以随机游走过程不平稳。
 
 
  但随机游走的一阶差分(First Diffent)是平稳的:Δt=X(t)-X(t-1)=μ(t),N~(0,σ2^)。因为随机游走的一阶差分又变成一个白噪声过程。也就是随机游走从本时刻向下一时刻运动的距离,是一个白噪声过程,是会回复的。
 
 
  可能日常工作中我们略微放松定义的平稳,但是至少要求二阶距(方差)是稳定的。
 
 
  我们简单看一个平稳和不平稳的matlab程序例子:
 
 
  t=(1:100)';
 
 
  y1=randn(100,1);%构造一个平稳序列。中心(均值)为0,标准差为1的正态分布随机数列。
 
 
  y2=randn(100,1)+0.25*t;%构造一个非平稳序列。在原有平稳序列上,加入随自变量线性增加的项。
 
 
  plot(t,y1,t,y2);
 
 
  具有单位根(不平稳)的自变量和因变量作回归得出的任何关系都带有欺骗性,因为残差序列的任何误差都不会随着样本量(即时期数)增大而衰减,即模型中的离差是永久的。这种回归又称作伪回归。因此,对时间序列建模时(特别是以预测为目的),关键的步骤是检验变量是否具有单位根。
 
 
  检验平稳性,用ADF检验比较合适。明天我们就进入对于单位根检验的讲解。

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